泰勒級數的定義 若函數f(x)在點的某一鄰域內具有直到(n+1)階導數，則在該鄰域內f(x)的n階泰勒公式為： f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+f``( x0)(x-x0)²/2!+f```( x0)(x- x0)³/3!+...fn(x0)(x- x0)n/n!+.... 其中：fn(x0)(x- x0)n/n!，稱為拉格朗日余項。 以上函數展開式稱為泰勒級數。

　　在泰勒公式中，取x0=0，得到的級數稱為麥克勞林級數(Maclaurin series)。 函數f(x)的麥克勞林級數是x的冪級數，那么這種展開是唯一的，且必然與f(x)的麥克勞林級數一致。

　　注意：如果f(x)的麥克勞林級數在點的某一臨域內收斂，它不一定收斂于f(x)。因此，如果f(x)在某處有各階導數，則f(x)的麥克勞林級數雖然能做出來，但這個級數能否在某個區域內收斂，以及是否收斂于f(x)都需要進一步驗證。

　　泰勒級數的重要性體現在以下三個方面：首先，冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數相對比較容易。第二，一個解析函數可被延伸為一個定義在復平面上的一個開區域上的泰勒級數通過解析延拓得到的函數，并使得復分析這種手法可行。第三，泰勒級數可以用來近似計算函數的值。

　　對于一些無窮可微函數f(x) 雖然它們的展開式收斂，但是并不等于f(x)。例如，分段函數f(x) = exp(−1/x²) 當 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，則當x = 0所有的導數都為零，所以這個f(x)的泰勒級數為零，且其收斂半徑為無窮大，雖然這個函數 f 僅在 x = 0 處為零。而這個問題在復變函數內并不成立，因為當 z 沿虛軸趨于零時 exp(−1/z²) 并不趨于零。

　　一些函數無法被展開為泰勒級數是因為那里存在一些奇點。但是如果變量x是負指數冪的話，我們仍然可以將其展開為一個級數。例如，f(x) = exp(−1/x²) 就可以被展開為一個洛朗級數。

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