2018年自考公共課數(shù)論初步章節(jié)講義：不定方程
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2018年自考公共課數(shù)論初步章節(jié)講義：不定方程
Ø 第二章 不定方程
一、 主要內(nèi)容
一次不定方程有解的條件、解數(shù)、解法、通解表示，不定方程x2+y2=z2通解公式、無窮遞降法、費(fèi)爾馬大定理。
二、 基本要求
1、 了解不定方程的概念，理解對“解”的認(rèn)識，掌握一次不定方程
有解的條件，能熟練求解一次不定方程的特解，正整數(shù)解及通解。了解多元一次不定方程
有解的條件，在有解的條件下的解法。
2、掌握不定方程x2+y2=z2在一定條件下的通解公式，并運(yùn)用這個通解公式作簡單的應(yīng)用。
3、對費(fèi)爾馬大定理應(yīng)有在常識性的了解，掌握無窮遞降法求證不定方程x4+y4=z2無解的方法。
4、掌握證明不定方程無解的若干方法。
三、難點(diǎn)和重點(diǎn)
(1)重點(diǎn)為求解一次不定方程的方法
(2)掌握第二節(jié)中引證的應(yīng)用。
(1) 費(fèi)爾馬無窮遞降法。
四、自學(xué)指導(dǎo)
不定方程主要講解以下幾個問題
(i)給定一類不定方程，判別在什么條件下有解。
(ii)在有解的條件下，有多少解
(iii)在有解的條件下，求出所給的不定方程的所有解。
二元一次不定方程的一般形式為ax+by=c 。若(a ,b)∣c，則該二元一次不定方程一定有解，若已知一個特解，則一切解可以用公式表示出來，因此求它的通解只要求出一個特解即可。求解二元一次不定方程的一個通解有好多種方法。讀者應(yīng)該總結(jié)一下，各種方法都有獨(dú)到之處。特別要指出用最大公因數(shù)的方法。它的根據(jù)是求(a ,b)時所得的結(jié)果。由于注意通解公式x=x0-b1t，y=y0+a1t中a1，b1的意義和位置。以免出錯。
多元一次不定方程
也有類似的結(jié)果，但在求解的過程中將它轉(zhuǎn)化二元一次不定方程組，從最后一個二元一次不定方程解起，可逐一解出x1 ,x2 ,……xn 。所用的方法一般選擇最大公因數(shù)的方法。由于n元一次不定方程可轉(zhuǎn)化為n-1個二元一次不定方程組，故在通解中依賴于n-1個任意常數(shù)。但不象二元一次不定方程那樣有公式來表示。
x2+y2=z2的正整數(shù)解稱為勾股數(shù)，在考慮這個方程時，我們對(x ,y)作了一些限制，而這些限制并不影響其一般性。在條件x>0，y>0，z>0，(x，y)=1，2∣x的條件可以給出x2+y2=z2的通解公式，x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a>b>0 , (a ,b)=1，a ,b一奇一偶。若將2∣x限為2∣y，則也有相應(yīng)的一個通解公式。在證明這個通解公式的過程中，用到了引理 uv=w2，u>0，v>0，(u ,v)=1，則u=a2，v=b2，w=ab 。a>0，b>0，(a ,b)=1 。利用這個結(jié)論可以求解某些不定方程。特別當(dāng)w=1或素數(shù)p 。則由uv=1或uv=P 可將原不定方程轉(zhuǎn)化為不定方程組。從而獲得一些不定方程的解。上述解不定方程的方法叫因子分解法。希望讀者能掌握這種方法。
為了解決著名的費(fèi)爾馬大定理：xn+yn=zn ，n≥3無正整數(shù)解時，當(dāng)n=4時可以用較初等的方法給出證明。證明由費(fèi)爾馬本人給出的，一般稱為費(fèi)爾馬無窮遞降法。其基本思想為由一組解出發(fā)通過構(gòu)造得出另一組解，使得兩組解之間有某種特定的關(guān)系，而且這種構(gòu)造可以無限重復(fù)的。從而可得到矛盾。因此無窮遞降法常用來證明某些不定方程無整數(shù)解。
證明一類不定方程無解是研究不定方程鄰域中常見的形式，一般的要求解不定方程比證明不定方程無解要容易些。證明不定方程無解的證明方法常采用以下形式：(反證法)
若A有解
A1有解
A2有解
……
An有解，而An本身無解，這樣來構(gòu)造矛盾。從而說明原不定方程無解。
對于證明不定方程的無解性通常在幾種方法，一般是總的幾種方法交替使用。特別要求掌握：簡單同余法、因子分解法、不等式法，以及中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的判別式法。
五、例子選講
例1：利用整數(shù)分離系數(shù)法求得不定方程15x+10y+6z=61。
解：注意到z的系數(shù)最小，把原方程化為
z=
令t1=
，即-3x+2y-6t1+1=0 此時y系數(shù)最小，
令t2 =
,即
,反推依次可解得
y=x+3t1+t2=2t2+1+3t1+t2=1+3t1+3t2
z=-2x-2y+10+t1=6-5t1+10t2
∴原不定方程解為
t1t2∈z. 例2:證明
是無理數(shù)證：假設(shè)
是有理數(shù)，則存在自數(shù)數(shù)a,b使得滿足
即
，容易知道a是偶數(shù)，設(shè)a=2a1，代入得
，又得到b為偶數(shù)，
，設(shè)
，則
,這里
這樣可以進(jìn)一步求得a2，b2…且有a>b>a1>b1> a2>b2>…
但是自然數(shù)無窮遞降是不可能的，于是產(chǎn)生了矛盾，∴
為無理數(shù)。
例3：證明：整數(shù)勾股形的勾股中至少一個是3的倍數(shù)。
證：設(shè)N=3m±1(m為整數(shù)) ， ∴N2=9m2±6m+1=3(3m2±2m)+1
即一個整數(shù)若不是3的倍數(shù)，則其平方為3k+1,或者說3k+2不可能是平方數(shù)，設(shè)x,y為勾股整數(shù)，且x,y都不是3的倍數(shù)，則x2,y2都是3k+1，但z2=x2+y2=3k+2形，這是不可能，∴勾股數(shù)中至少有一個是3的倍數(shù)。
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